Ce este superformabilitatea în matematică?

Superformidabil este un termen care a fost popularizat de matematicianul și polimatul John Horton Conway. Este un mod ludic de a se referi la un anumit tip de obiect matematic, care este o generalizare a unui sistem formal.

În matematică, un sistem formal este un set de reguli pentru construirea și manipularea expresiilor matematice. De exemplu, un sistem formal ar putea include un set de axiome (propoziții care se presupune că sunt adevărate fără dovezi), un set de reguli de inferență (care ne permit să derivăm noi propoziții din cele date) și un set de simboluri (cum ar fi 0, 1 și +) pe care le putem folosi pentru a construi expresii.

Un superformidabil este un sistem formal care are proprietatea că fiecare afirmație care poate fi făcută în cadrul sistemului poate fi dovedită fie adevărată, fie falsă folosind doar regulile sistemului. Cu alte cuvinte, dacă o afirmație nu poate fi dovedită nici adevărată, nici falsă folosind regulile sistemului, atunci nu este superformidabil.

Superformidabilitatea este o condiție puternică pe care nu o satisfac toate sistemele formale. De exemplu, sistemul standard de aritmetică (care include numerele naturale și operațiile uzuale de adunare și înmulțire) nu este superformidabil, deoarece există afirmații despre numerele naturale care nu pot fi dovedite nici adevărate, nici false folosind doar regulile sistemului. .

John Horton Conway era interesat de superformidabilitate deoarece credea că ar putea oferi o modalitate de a înțelege natura matematicii în sine. El s-a gândit că, dacă am putea găsi un sistem formal superformid, am putea fi capabili să-l folosim pentru a demonstra consistența tuturor adevărurilor matematice și, prin urmare, să obținem o înțelegere mai profundă a fundamentelor matematicii. Cu toate acestea, în ciuda multor eforturi, nimeni nu a reușit încă să găsească un sistem formal superformid care să fie suficient de puternic pentru a dovedi toate adevărurile matematice.