Hva er superformidabilitet i matematikk?

Superformidable er et begrep som ble popularisert av matematikeren og polymaten John Horton Conway. Det er en leken måte å referere til en bestemt type matematiske objekter, som er en generalisering av et formelt system.

I matematikk er et formelt system et sett med regler for å konstruere og manipulere matematiske uttrykk. For eksempel kan et formelt system inkludere et sett med aksiomer (påstander som antas å v
re sanne uten bevis), et sett med slutningsregler (som lar oss utlede nye påstander fra gitte) og et sett med symboler (som f.eks. 0, 1 og +) som vi kan bruke til å bygge uttrykk.

En superformidabel er et formelt system som har egenskapen at alle utsagn som kan gjøres i systemet kan bevises enten sant eller usant kun ved å bruke systemets regler. Med andre ord, hvis et utsagn ikke kan bevises verken sant eller usant ved å bruke systemets regler, så er det ikke superformidabelt.

Superformidabilitet er en sterk betingelse som ikke alle formelle systemer tilfredsstiller. For eksempel er standardsystemet for aritmetikk (som inkluderer de naturlige tallene og de vanlige operasjonene addisjon og multiplikasjon) ikke superformidabelt, fordi det er utsagn om de naturlige tallene som ikke kan bevises verken sanne eller usanne ved å bruke bare systemets regler .

John Horton Conway var interessert i superformidabilitet fordi han mente at det kunne gi en måte å forstå selve matematikkens natur. Han mente at hvis vi kunne finne et superformidabelt formelt system, kunne vi kanskje bruke det til å bevise konsistensen av alle matematiske sannheter, og derved få en dypere forståelse av grunnlaget for matematikk. Men til tross for mye innsats, har ingen ennå klart å finne et superformidabelt formelt system som er kraftig nok til å bevise alle matematiske sannheter.