Що таке суперформідність у математиці?

Супергрізний — це термін, який популяризував математик і вчений Джон Хортон Конвей. Це ігровий спосіб посилання на певний тип математичного об’єкта, який є узагальненням формальної системи.

У математиці формальна система – це набір правил для побудови математичних виразів і роботи з ними. Наприклад, формальна система може включати набір аксіом (пропозицій, які вважаються істинними без доказів), набір правил висновку (які дозволяють нам виводити нові пропозиції з заданих) і набір символів (таких як 0, 1 і +), які ми можемо використовувати для побудови виразів.

Надзвичайний — це формальна система, яка має властивість, що кожне твердження, яке можна зробити в системі, може бути доведено або істинним, або хибним, використовуючи лише правила системи. Іншими словами, якщо твердження не може бути доведено ні істинним, ні хибним за допомогою правил системи, тоді воно не є надгрізним.

Суперформідність є сильною умовою, якій задовольняють не всі формальні системи. Наприклад, стандартна система арифметики (яка включає натуральні числа та звичайні операції додавання та множення) не є надзвичайно грізною, оскільки існують твердження про натуральні числа, які неможливо довести ні істинними, ні хибними, використовуючи лише правила системи .

Джона Гортона Конвея цікавила надскладність, оскільки він вважав, що вона може дати спосіб зрозуміти природу самої математики. Він думав, що якщо ми зможемо знайти надзвичайно грізну формальну систему, ми зможемо використати її, щоб довести узгодженість усіх математичних істин і таким чином отримати глибше розуміння основ математики. Однак, незважаючи на великі зусилля, ніхто досі не зміг знайти надзвичайно потужну формальну систему, яка є достатньо потужною, щоб довести всі математичні істини.