Matematikte Süperformidabilite Nedir?

Süper güçlü, matematikçi ve bilge John Horton Conway tarafından popüler hale getirilen bir terimdir. Bu, resmi bir sistemin genellemesi olan belirli bir tür matematiksel nesneye atıfta bulunmanın eğlenceli bir yoludur.

Matematikte, resmi bir sistem, matematiksel ifadeleri oluşturmak ve değiştirmek için kullanılan bir dizi kuraldır. Örneğin, biçimsel bir sistem bir dizi aksiyomu (kanıt olmadan doğru olduğu varsayılan önermeler), bir dizi çıkarım kuralını (verilenlerden yeni önermeler türetmemizi sağlayan) ve bir dizi simgeyi (örneğin, İfadeler oluşturmak için kullanabileceğimiz 0, 1 ve +).

Süper güçlü, sistem içinde yapılabilecek her ifadenin yalnızca sistemin kuralları kullanılarak doğru ya da yanlış olarak kanıtlanabileceği özelliğine sahip biçimsel bir sistemdir. Başka bir deyişle, eğer bir ifadenin doğru ya da yanlış olduğu sistem kuralları kullanılarak kanıtlanamıyorsa, o zaman süper güçlü değildir.

Süper güçlü olmak, tüm resmi sistemlerin karşılamadığı güçlü bir durumdur. Örneğin, standart aritmetik sistemi (doğal sayıları ve olağan toplama ve çarpma işlemlerini içerir) süper güçlü değildir, çünkü doğal sayılarla ilgili olarak yalnızca sistemin kuralları kullanılarak doğru ya da yanlışlığı kanıtlanamayan ifadeler vardır.

John Horton Conway süper-üstünlükle ilgileniyordu çünkü bunun matematiğin doğasını anlamanın bir yolunu sağlayabileceğine inanıyordu. Eğer süper güçlü bir biçimsel sistem bulabilirsek, bunu tüm matematiksel doğruların tutarlılığını kanıtlamak için kullanabileceğimizi ve böylece matematiğin temelleri hakkında daha derin bir anlayış kazanabileceğimizi düşünüyordu. Ancak, tüm çabalara rağmen henüz hiç kimse, tüm matematiksel gerçekleri kanıtlayacak kadar güçlü, süper güçlü bir biçimsel sistem bulamadı.