Was ist Superformidabilität in der Mathematik?

Superformidable ist ein Begriff, der vom Mathematiker und Universalgelehrten John Horton Conway populär gemacht wurde. Es ist eine spielerische Art, sich auf eine bestimmte Art von mathematischem Objekt zu beziehen, das eine Verallgemeinerung eines formalen Systems darstellt.

In der Mathematik ist ein formales System eine Reihe von Regeln zum Konstruieren und Manipulieren mathematischer Ausdrücke. Ein formales System könnte beispielsweise eine Reihe von Axiomen (Satzungen, die ohne Beweis als wahr angenommen werden), eine Reihe von Inferenzregeln (die es uns ermöglichen, neue Aussagen aus gegebenen Aussagen abzuleiten) und eine Reihe von Symbolen (z. B 0, 1 und +), die wir zum Erstellen von Ausdrücken verwenden können.

Ein Superformidable ist ein formales System, das die Eigenschaft hat, dass jede Aussage, die innerhalb des Systems gemacht werden kann, allein unter Verwendung der Regeln des Systems als wahr oder falsch bewiesen werden kann. Mit anderen Worten: Wenn eine Aussage anhand der Regeln des Systems weder als wahr noch als falsch bewiesen werden kann, ist sie nicht überformbar. Überformbarkeit ist eine strenge Bedingung, die nicht alle formalen Systeme erfüllen. Beispielsweise ist das Standardsystem der Arithmetik (das die natürlichen Zahlen und die üblichen Operationen der Addition und Multiplikation umfasst) nicht überformbar, da es Aussagen über die natürlichen Zahlen gibt, die allein mit den Regeln des Systems weder als wahr noch als falsch bewiesen werden können .

John Horton Conway interessierte sich für Superformidabilität, weil er glaubte, dass sie eine Möglichkeit bieten könnte, die Natur der Mathematik selbst zu verstehen. Er glaubte, wenn wir ein überragendes formales System finden könnten, könnten wir damit möglicherweise die Konsistenz aller mathematischen Wahrheiten beweisen und dadurch ein tieferes Verständnis der Grundlagen der Mathematik erlangen. Trotz gro+er Bemühungen ist es jedoch noch niemandem gelungen, ein überragendes formales System zu finden, das leistungsfähig genug ist, um alle mathematischen Wahrheiten zu beweisen.