Was ist Inkompaktheit in der Topologie?

Inkompakt ist ein Begriff, der in der Topologie und verwandten Bereichen verwendet wird, um einen Raum zu beschreiben, der nicht kompakt ist. Ein kompakter Raum ist in gewissem Sinne „fertig“ oder „abgeschlossen“, was bedeutet, dass er keine „Löcher“ oder „Lücken“ enthält, die durch Hinzufügen von Punkten oder offenen Mengen gefüllt werden können. Im Gegensatz dazu ein inkompakter Raum weist Löcher oder Lücken auf, die nicht durch Hinzufügen von Punkten oder offenen Mengen gefüllt werden können. Beispielsweise ist die Menge aller reellen Zahlen inkompakt, weil sie keine Endpunkte hat und es keine offenen Mengen gibt, die zu ihr hinzugefügt werden können, um sie kompakt zu machen.

Inkompaktheit wird oft als Eigenschaft von Räumen verwendet, die nicht kompakt sein sollen oder in gewissem Sinne vollständig. Beispielsweise ist die Menge aller reellen Zahlen inkompakt, da sie kein vollständiger Raum sein soll, sondern ein Raum, der in gewissem Sinne alle reellen Zahlen enthält.